przy Oddziale PTTK Ziemi Gliwickiej

Klub Krajoznawstwa i Ochrony Przyrody

2014.08.27. Ciąg Fibonacciego

Leonardo Fibonacci – matematyk włoski ur. 1175 r. – zm. 1250 r.
Fibonacci był niezwykle utalentowanym matematykiem, jednak wiele z jego prac i teorii nie
oddziałało na rozwój matematyki, ponieważ pozostały w dużej mierze nieznane w okresie
średniowiecza. Pierwsze lekcje matematyki Fibonacci pobierał u arabskiego nauczyciela
w mieście Boużia (dziś algierska Beżaja). W czasie swych podróży po Europie, a następnie po
krajach Wschodu, miał okazję poznać osiągnięcia matematyków arabskich i hinduskich, jak
np. system dziesiętny. Po powrocie do kraju, w 1202 r., opublikował swe podstawowe dzieło,
Liber Abaci. W pracy tej przedstawił większość swojego dorobku matematycznego,
gromadzonego przez lata pracy. Początek dzieła to zapiski i spostrzeżenia poświęcone
głównie arytmetyce liczb całkowitych. Opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy
arytmetyki na podstawie nowej numeracji. Fibonaccci zamieścił tam również. tablicę,
w której pewne liczby zapisane były rzymskimi i jednocześnie arabskimi (indyjskimi)
cyframi. W 1220 r. wydał Practica geometriae, będące połączeniem algebry i geometrii. Jako
dojrzały matematyk Fibonacci nauczał działań na liczbach mieszanych i na ułamkach,
zajmował się także metodami rozwiązywania zadań arytmetyki handlowej, opartymi na
proporcjach. W kręgu zainteresowania Fibonacciego znalazły się także zadania na
mieszaninę, których rozwiązanie podane było w formie recept. Prace Fibonacciego zawierają
szereg matematycznych problemów. Rozważania nad jednym z nich (rozmnażania się
królików) doprowadziły do utworzenia tzw. ciągu Fibonacciego:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 …
Ciekawe jest to, że w przyrodzie istnieją dużo bardziej racjonalne przypadki ciągu liczb
Fibonacciego, niż twierdzenie o królikach. Są rośliny których budowa lub właściwości
odnoszą się do liczb Fibonacciego. U wielu gatunków roślin, ilość płatków każdego
kwiatostanu to zwykle liczba Fibonacciego, na przykład 5, 13, 55, a nawet 377. Naukowcy
potrafią podać przykłady drzew w których gałązki przyrastają zgodnie z kolejnymi liczbami
ciągu Fibonacciego np. dęby.
Z ciągiem Fibonacciego związane jest pojęcie spirali Fibonacciego. Łuski szyszki sosny
układają się w dwie serie spiral od ogonka w górę - jedna zgodnie z ruchem wskazówek
zegara, druga przeciwnie. Przebadano ponad 4000 szyszek dziesięciu gatunków sosny
i stwierdzono, że ponad 98 procent posiadało ilość spiral w obu kierunkach zgodną z liczbą
Fibonacciego. Co więcej, liczby te w ciągu leżały obok siebie lub bardzo blisko, to znaczy, na
przykład, 8 spiral w jedną stronę, 13 w drugą albo 8 w jedną, 21 w drugą. Łuski owocostanu
ananasa wykazują jeszcze mniejszą zmienność w zjawiskach Fibonacciego: z 2000 prób
typowych ananasów żaden nie stanowił wyjątku od tej reguły. Podobne zjawisko można
zaobserwować na kalafiorze, brukselce, czy tarczy słonecznika. Badając rozkład liści na
gałązkach łatwo można zauważyc, że liście sąsiednie najczęściej wysuwają sie z linii prostej
okrażając gałązkę. U bardzo wielu roślin co drugi, co trzeci, co piąty, co ósmy lub co
trzynasty liść wyrasta w tym samym kierunku.
Nie tylko w świecie roślin spotykamy zależności związane z ciągiem Fibonacciego.
Znajomość własności ciągu Fibonacciego może być przydatna w różnych dziedzinach:
w zoologii, astronomi, teorii muzyki, teorii rynków giełdowych, fotografii, architekturze
i innych. Przykłady rozlicznych zastosowań, ciągu Fibonacciego, wraz z ilustracjami
i filmikami, można znależć w internecie.
Opracowanie: G. Rościszewska